Question

简述离散时间序列的z变换、DTFT、DFT三者之间的关系

简述离散时间序列的z变换、DTFT、DFT三者之间的关系

Answer 1

DTFT是离散时间傅里叶变换，针对的是连续的信号和频谱。

DFT是离散傅里叶变换，针对的是离散的信号和频谱。

DFT是DTFT变化而来，其实就是将连续时间t变成了nT. 为什么要这样做呢，因为计算机是在数字环境下工作的，它不可能看见或者处理现实中连续的信号，只能够进行离散计算，在真实性上尽可能地逼近连续信号。所以DFT是为了我们能够去用工具分析信号而创造出来的，通常我们直接用DTFT的机会很少。

DFT和DTFT都是频域上的分析，至于Z变换，是在时域上的分析，我们习惯叫Z域。Z变换主要的作用是通过分析信号或者脉冲响应的零点和极点，来得知其稳定性和时域上的特性。

对信号处理来首，时域和频域上的分析和处理都是必须的。

Answer 2

这里的回答非常好。 的确只有更深刻去思考 我们信号处理中所使用的变换的关系才能得出一番结论。 纯理论上的Z变换，DTFT是一种分析的数学方法，或者说，DTFT是时域采样值的频域变换，这时的频域仍然是连续的；而我们所在的客观世界，存在的信息都是物理连续的，可是你要观察它，只有对它采样，为什么要采样呢？因为采样会把它保存下来，可以便于观察（假使咱们的实际物理电路，它上面的电信号也是随时变化的，稍纵即逝），因此，为了能够把它们停留下来观看，就要采样，并且保存在仪器的寄存器里，这样就能显示出来；而很多情况，要分析频谱，因此，当把观察的时域信号类比到观察频域信号时，就想到能不能让频域也离散抽样，这样，不也就可以像观察频域的一些抽样值来观察频谱了吗？因此，就得到了DFT，即对周期内（0,2*pi）的频域采样变换。
工程上应用来说，分析设计或者说理论上吧，就着重在Z变换和DTFT，分析相关的谱域特性，稳定性能等等；但是，通过仪器来观看，或者说一些处理软件来看它们的频谱等等，实际看的都是离散的频谱，也就说进行了 DFT，而DFT和DTFT是一个抽样并且外加 幅度线性变化（压缩 或者扩张）的关系，形状完全一样，所以，可以用DFT来代替DTFT来分析观察（注意不能等效，只是它们是一种线性的关系）。