Question

线性代数，定采纳第二题

Answer 1

设二次型f相应对称矩阵为A
则A=
0 1/2 0 0 ... 0 0
1/2 0 0 0 ... 0 0
0 0 0 1/2 ... 0 0
0 0 1/2 0 ... 0 0
...
0 0 0 0 ... 0 1/2
0 0 0 0 ... 1/2 0
下面使用合同变换，把A化成对角阵
A第2列加到第1列，第2行加到第1行
然后第1列乘以-1/2加到第2列，第1行乘以-1/2加到第2行
类似地，
A第4列加到第3列，第4行加到第3行
然后第3列乘以-1/2加到第4列，第3行乘以-1/2加到第4行
...
A第n列加到第n-1列，第n行加到第n-1行
然后第n-1列乘以-1/2加到第n列，第n-1行乘以-1/2加到第n行
化成对角阵B=
diag(1,-1/4,1,-1/4,...,1,-1/4)
因此f的秩等于n，符号差是n/2-n/2=0