Question

请教一道简单的高中数学题

用定义法证明：函数f(x)=2^x/（4^x+1)在(0,1)上是减函数
要详细点，最好一步都不跳跃，本人是数学盲，谢谢！

Answer 1

【证明】
设0<x1<x2<1
那么f(x1)-f(x2)=2^x1/(4^x1+1)-2^x2/(4^x2+1)
=[2^x1(4^x2+1)-2^x2(4^x1+1)]/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
=[2^x1*2^(2x2)+2^x1-2^x2*2^(2x1)-2^x2]/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
=[2^(2x2+x1)-2^(2x1+x2)+2^x1-2^x2)]/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
=[2^(x1+x2)*(2^x2-2^x1)+(2^x1-2^x2)]/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
=[(2^x2-2^x1)(2^(x1+x2)-1)]/[(4^x1+1)(4^x2)]
由于0<x1<x2<1,则有2^x1<2^x2,即:2^x2-2^x1>0,
同时有x1+x2>0,则2^(x1+x2)>1,即2^(x1+x2)-1>0
同时分母4^x1+1>0,4^x2+1>0
所以可得:f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以可证得:函数f(x)=2^x/（4^x+1)在(0,1)上是减函数.

Answer 2

设0<x1<x2<1
f(x)=2^x/（4^x+1)=[(4^x+1)/2-1/2]/(4^x+1)=1/2-1/(2*4^x+2)
f(x1)-f(x2)=1/(2*4^x2+2)-1/(2*4^x1+2)
=(4^x1*2+2-4^x2*2-2)/[(2*4^x2+2)(2*4^x1+2)]
=2*(4^x1-4^x2)/[(2*4^x2+2)(2*4^x1+2)]
∵x1<x2 ∴4^x1-4^x2<0 (2*4^x2+2)(2*4^x1+2)>0
∴f(x1)-f(x2)<0
即函数f(x)=2^x/（4^x+1)在(0,1)上是减函数
（把式子写草稿本上写一下 可以看得清楚点）