高中数学数列
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已知：a1=6,bn=2^n, a(n+1)-an=2[b(n+1)-bn], 求 {an}的通项公式。
解:(1）因为，bn=2^n， 数列 {bn} 为等比数列，a（n+1)-an=2[b(n+1)-bn]=2bn(2-1)=2bn=b(n+1);
a2-a1=2*2^2=2^3, a2=2^3+6, a3-a2=2^3; a3=2^3+2^3+6=2*2^3+6=2*2^3+6=2^4+6; 以此类推，通项公式: an=2*2^n+6=2^(n+1)+6。
（2）若λan>2^n+n+λ2对一切n∈N恒成立，求λ的取值范围。
λ(an-2)=λ[2^(n+1)+6-2]=λ[(2^(n+1)+2^2]>2^n+n; λ>(2^n+n)/[2^(n+1)+4]=[(2^n+2)+n-2]/[2^(n+1)+4]=1/2+(n-2)/[2^(n+1)+4], 从步等式的右式可以看出，由于2^(n+1)的发展速度，明显要快于n，因此，右式的最大值，在n=3时，这时右式有极大值。1/2+1/20=11/20；所以，λ>11/20;λ的取值范围：（11/20，+∞）
解:(1）因为，bn=2^n， 数列 {bn} 为等比数列，a（n+1)-an=2[b(n+1)-bn]=2bn(2-1)=2bn=b(n+1);
a2-a1=2*2^2=2^3, a2=2^3+6, a3-a2=2^3; a3=2^3+2^3+6=2*2^3+6=2*2^3+6=2^4+6; 以此类推，通项公式: an=2*2^n+6=2^(n+1)+6。
（2）若λan>2^n+n+λ2对一切n∈N恒成立，求λ的取值范围。
λ(an-2)=λ[2^(n+1)+6-2]=λ[(2^(n+1)+2^2]>2^n+n; λ>(2^n+n)/[2^(n+1)+4]=[(2^n+2)+n-2]/[2^(n+1)+4]=1/2+(n-2)/[2^(n+1)+4], 从步等式的右式可以看出，由于2^(n+1)的发展速度，明显要快于n，因此，右式的最大值，在n=3时，这时右式有极大值。1/2+1/20=11/20；所以，λ>11/20;λ的取值范围：（11/20，+∞）
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