Question

lim(arctanx/x)的1/x^ 2 x趋近于0 为什么不能直接使用洛必达法则

Answer 1

因为这是一个幂指函数，不可以用洛必达。幂指函数一般都是取对数，再判断是否为0/0或者∞比∞。

追问

不是是等价无穷小 直接约了不行吗

追答

这是1的无穷大次方

怎么使用洛必达呢？

如果我没看错的话，应该是x分之arctanx的1/x次方。既然是这样，指数都是函数类型，所以是幂指函数。

约了，就是1的无穷大次方吗

追问

嗯 为什么不能约啊 你可以写一下这道题怎么做吗

追答

取对数 然后用对数除法性质。
∵lim(x→0)[lnarctanx-lnx]/x^2=lim(x→0)[(1/arctanx)(1/1+x^2)-1/x]/2x
=lim(x→0)[x-(1+x^2)arctanx]/2x^2arctanx(1+x^2)=lim(x→0)[x-(1+x^2)arctanx]/2x^3
=lim(x→0)[1-2xarctanx-1]/6x^2=-1/3
∴lim(x→0)(arctanx/x)^(1/x^ 2)=e^(-1/3)

Answer 2

简单计算一下，详情如图所示