Question

数学中关于圆和概率的悖论

有3个概率问题：1、在圆上任取两个点连接起来构成弦，弦长大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？
2、在圆的任意一条直径上取一点做垂线，垂线与圆相交构成的弦长度大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？
3、在圆内任取一点，以它为中点所作的弦的长度大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？

请感兴趣的人们来探讨一下！

Answer 1

先预约下，中午再做！！

这不是一个悖论，虽然都是弦长大于内接正三角形边长，但不同的产生过程造成了不同的概率值！！

（1）在圆上任取两个点连接起来构成弦，弦长大于该圆内接正三角形边长的概率

先任取一个点A，另一点B等可能的分布在整个圆周上，而为使弦长大于该圆内接正三角形边长，只需取在图1所示位置，所以概率=1/3

（2）在圆的任意一条直径上取一点做垂线，垂线与圆相交构成的弦长度大于该圆内接正三角形边长的概率

先任作条直径，再在其上任取一点A，取这条直径上哪一点是等可能的，为使垂线与圆相交构成的弦长度大于该圆内接正三角形边长，只需选取的点A取在图2所示位置，所以概率=1/2

（3）在圆内任取一点，以它为中点所作的弦的长度大于该圆内接正三角形边长的概率

先在圆内任取一点A，取这个圆内哪一点是等可能的，为使以它为中点所作的弦的长度大于该圆内接正三角形边长，只需选取的点A取在图3所示位置，所以概率=1/4

综上，不同的题中给出的不同的等可能对象造成了不同的结果，所以分析一个问题要从其发生发展的过程来着手解决

这是我个人的体会，希望对你有用。

图一会儿会上传到

Answer 2

1.
设圆心为O
一个点A已经确定后，考虑另一个点B
设夹角为角AOB，显然 当 120<角AOB<180时条件成立
所以概率为(180-120)/180=1/3
2.
设圆心为O，半径为r
考虑取的点A
易得0<OA<r
简单计算得到r/2<OA<r时条件成立
所以概率为(r-r/2)/r=1/2
3.
和1等价
所以概率为(r-r/2)/r=1/3

Answer 3

找本《几何概率》的书去看吧，这么讨论没意义。