常用的全面的幂级数展开公式
具体如图：
这是公比为q=x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用，没有必要写出具体过程， 如果一定要写，就写在下面，略有点麻烦，其中第步要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和。
设集合A是有基数Card（A）的有限集（可数集），则Card（2A）=2(Card(A))。
如集合B={a,b}，得2B={Ø,{a},{b},{a,b}}。那么Card（2B）=2(Card(B))=22=4，显然上述公式是正确的。考虑特殊情况空集合Ø的幂集：空集合Ø仅有子集Ø，得到2Ø={Ø}。
扩展资料：
设有集合A，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作2A，即：2A={S|S⊆A}。
只要证明(0,1]区间的实数集是不可数的。如果它是可数的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。这时将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
常用的全面的幂级数展开公式如下：
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+……+[(-1)^n][x^n]+……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!--x^7/7!+……
cosx=1--x^2/2!+x^4/4!--x^6/6!+……
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+……
泰勒公式与幂级数展开式的区别和联系
虽然两者形式相似，但是是完全不同的概念，这个要回到定义里面。
泰勒公式的最后有个无穷小量，比如e^x=1+x+o(x)，这个无穷小量只有在x趋近于x0时才能是无穷小（假设函数在x0附近展开,比如上面的例子是把e^x在0的附近展开）。至于需要展开几项在数学上是随意的，实际应用的时候跟需要的近似计算的精度有关系。
幂级数从定义看是个函数项级数，求级数的过程是先求前n项和，再对n趋于无穷求极限。求极限之后的展开式只要在收敛半径内都是成立的。比如e^x=1+x+...这个展开式在整个实数轴（或者说整个复平面）上都是成立的。
也就是说两个式子都是极限式,泰勒公式要求x→x0，幂级数要求n→∞。
（当然一般情况下见到的幂级数都是在0处展开的,但是也存在在x0处展开的幂级数,所以这儿不是区别.）
展开公式如图：
扩展资料：
幂函数的性质：
一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。
2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。
2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。
3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。
4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
参考资料来源：百度百科-幂函数
