Question

∫-x^2-2/（x^2+x+1）^2dx图中的步骤是如何得出的？

请务必非常详细

Answer 1

x^2+x+1 = x^2+x+1/4 + 3/4 = (x+1/2)^2 + (√3/2)^2 = u^2+a^2
其中 u = x+1/2, a = √3/2， 则(红线处)
∫dx/(x^2+x+1)^2 = ∫du/(u^2+a^2)^2
= [1/(2a^2)]∫(a^2-u^2+u^2+a^2)du/(u^2+a^2)^2
= [1/(2a^2)][∫(a^2-u^2)du/(u^2+a^2)^2 + ∫du/(u^2+a^2)]
(前项被积函数凑微分， 看不出来时从下行求导处验证)
= [1/(2a^2)]{∫[u/(u^2+a^2)]'du + ∫du/(u^2+a^2)}
= [1/(2a^2)][u/(u^2+a^2) + ∫du/(u^2+a^2)]

Answer 2

不清楚你那一步没有看懂，这是有理函数的不定积分。
第一个等号，由公式及待定系数法。
第二个等号，凑微分。
第三个等号，换元。
第四个等号，由公式和待定系数法。
第五个等号，凑微分。
第六个等号，换元＋中间那个等式代换。
第七个等号，合并同类项。
第八个等号，运用常见的积分公式。

追问

是划红线的那个步骤

Answer 3

Answer 4

请问一下这本书叫什么

Answer 5

如图所示：

追答

公式证明：

运用的是分部积分法