Question

求教一道线代题？

请问第20题答案中划蓝线的三个部分在实际解答中是怎么推断出来的？我自己是只看a-b这一项的话觉得有好多种组合，但是这么多种组合我没办法一下子从中找出这三种……

Answer 1

首先，你要理解alpha1=（1，2，0）这个表达式的意义，它有3个数值，说明是3维的，他可以表示三维空间中的一个点（1，2，0）；与（0，0，0）连在一起可以代表一个向量；也可以代表跟这个向量平行的所有直线。两个线性无关（什么是线性无关？）的向量可以张开一个平面，即包含原点和这两个向量代表的点的平面（3点不在同一直线上可以确定一个平面）；如果选的两个向量线性线性相关，那么就只是一条直线了，因为连接这三个点在同一直线上了；两个线性无关的向量张开一个平面的意思是指，这三点确定的平面里的所有向量，都可以通过这两个向量的一系列的加法和减法表达出来，也就是你把这两个向量（列向量）组合成一个3X2的行列式，通过一系列的行列式变换使得其中一列变成这个平面中任意向量，通过这样把这个平面中的任意向量组合出来，变换的本质其实就是 alpha1*x1+alpha2*x2, 不断的找x1,x2的过程;在这样的行列式变换中，任意变换得到的两个列向量本质上与原来两个向量并没有什么不同，举例即 alpha1+3apha2与 alpha2的组合跟alpha1与alpha2的组合没什么不同；
回过头来看这题，本质是beta=alpha1*x1+alpha2*x2+alpha3 *x3, 寻找x1,x2,x3的过程。也可以表达成这样：使 （alpha1，alpha2，alpha3 ）组成一个矩阵A，x=（x1,x2,x3）,找到这样的x, 使得 beta=A*x; 那么什么时候无解呢，那就是alpha1，alpha2，alpha3三个向量只张开一个平面或直线（即3个向量线性相关），而beta不在这个平面或直线内。直观上就是这样的。
alpha1=（1，2，0），alpha2=（1，a+2，-3a）,alpha3=（-1，-b-2, 2b）; alpha1+alpha2+alpha3=(1, 2+a-b,2b-3a)=beta=(1, 3, -3)(因为向量相等需要每个元素都一样，所以第一个元素决定了这是唯一成立的可能性），这样 2+a-b=3 并且2b-3a=-3

Answer 2

根据第四行最后的化简，可以分情况讨论A矩阵和A增广矩阵的秩，分三种情况①增广矩阵和A矩阵秩都为3，也就是下面第二种情况②增广矩阵秩为3，A的秩为2，也就是下面第一种情况③增广矩阵和A矩阵秩都为2，也就是下面第三种情况。然后分别讨论这三种情况下ab的值和矩阵的性质就行了。

Answer 3

是讨论。
（1）当 a = 0，b 为任意常数时， 增广矩阵进一步初等行变换为
[1 1 -1 1]
[0 0 -b 1]
[0 0 0 -1]
系数矩阵秩为 2 或 1， 增广矩阵秩为 3， 方程组无解，则
β 不能由 α1，α2，α3 线性表示。
（2）当 a ≠ 0，且 a ≠ b 时，增广矩阵进一步初等行变换为
[1 1 -1 1]
[0 1 -b/a 1/a]
[0 0 1 0]
初等行变换为
[1 1 0 1]
[0 1 0 1/a]
[0 0 1 0]
初等行变换为
[1 0 0 1-1/a]
[0 1 0 1/a]
[0 0 1 0]
β 可由 α1，α2，α3 唯一线性表示，β = (1-1/a)α1+(1/a)α2。

（3）当 a ≠ 0，且 a = b 时，增广矩阵进一步初等行变换为
[1 1 -1 1]
[0 1 -1 1/a]
[0 0 0 0]
初等行变换为
[1 0 0 1-1/a]
[0 1 -1 1/a]
[0 0 0 0]
方程组化为
x1 = 1-1/a
x2 = 1/a+x3
特解 (1-1/a, 1/a， 0)^T
导出组
x1 = 0
x2 = x3
基础解系 (0, 1， 1)^T
通解 x = (1-1/a, 1/a， 0)^T + c(0, 1， 1)^T，
β 可由 α1，α2，α3 线性表示，且表示法不唯一，
β = （1-1/a)α1 + (1/a+c)α2 + cα3, c 为任意常数。

Answer 4

主要还是看秩的变化，你首先要明白有解的条件，然后根据是否有解来推断第一种情况
第二种第三种还是根据解性质来决定的，他决定了解到底是几维的

Answer 5

同学，你可以通过看a-b，，那a-b两种结果,等于0，和不等于0
首先看等于0，，那就是a=b,但是a或者b不能等于0，由于a=b，所以就说a不等于0，（3）
再看，不等于0，两种情况了吧，a=0,b为任意数，
或者a为任意数，b=0（1），是无解的
第二种，a或者b不等于0，那么a也不等于b，这个和（3）正好对称，