Question

高数二重积分

第5题第2个

Answer 1

这是我的理解：
二重积分和二次积分的区别
二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。
①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。
②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。
③可以二重积分不一定能二次积分。区域S={(x,y)|x>=1,|y|<=1/x^3}。恒等函数f(x,y)=1,(x,y)∈S。f在S上可以二重积分却不能二次积分（先对x再对y求积分，在y=0那条线上积分无穷）。
积分对调
上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。
可对调x,y的情况是
连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。
积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况

Answer 2

5 (2）记 f(x, y) = x+xy-x^2-y^2, ∂f/∂x = 1+y-2x, ∂f/∂y = x -2y,
得唯一驻点 P(2/3, 1/3), f(2/3, 1/3) = 1/3,
边界极值点：
f(0, y) = - y^2, 最大值 f(0, 0) = 0，最小值 f(0, 2) = -4；
f(1, y) = y - y^2, 最大值 f(1, 1/2) = 1/4，最小值 f(1, 2) = -2 ；
f(x, 0) = x-x^2, 最大值 f(1/2, 0) = 1/4，最小值 f(0, 0) = f(1, 0) = 0;
f(x, 2) = 3x-x^2-4, 最大值 f(3/2, 2) = -7/4, 最小值 f(0, 2) = -4.
则在区域 D 上最大值是 f(2/3, 1/3) = 1/3， 最小值是 f(0, 2) = -4.
D 的面积是 2， 则 该积分估值范围是 -8 ≤ I ≤ 2/3

追问

好像就你一个看题目要求了

笑哭QWQ

Answer 3

步骤是这样的应该

Answer 4

Answer 5

好简单的，这是个矩形都难，怕是凉了，多看书上例题跟着答案做