Question

一道高数题求解？

Answer 1

已知f(0)=-1，f'(0)=1；若yf(x)dx+[(3/2)sin2x-f'(x)]dy=0是全微分方程，则f(x)=?

解：∵f(x)=y，f'(x)=y'，所以原方程可改写为：y²dx+[(3/2)sin2x-y']dy=0
P=y²；∂P/∂y=2yy'；
Q=(3/2)sin2x-y'；∂Q/∂x=3cos2x-y''；
因为是全微分方程，∂P/∂y=∂Q/∂x，即 3cos2x-y''=2yy'；
于是得一变系数二阶微分方程：y''+2yy'=3cos2x.............①；
此方程方程不太好解，你自己试试吧，我解不出来。
求出此方程的通解，再代入初始条件，即得所要求的y=f(x);

追问

全微分方程一定有∂P/∂y=∂Q/∂x吗

追答

是的，这是充要条件。

Answer 2

因为是全微分，所以d(yf(x))/dy = d(1.5 sin2x - f'(x)]/dx

f(x)=3cos2x -f''(x)
f''(x)+f(x)=3cos2x
特解为a cos2x带人得到-4acos2x + acos2x = 3cos2x, a=-1
f''(x)+f(x)=0得到f(x)=c1 sinx + c2 cosx

所以f(x)=c1 sinx + c2 cosx -cos2x
f(0)=c2-1 = -1, c2=0
f(x)=c1sinx -cos2x
f'(x)=c1 cosx+2sin2x
f'(0)=c1 = 1
f(x)=sinx -cos2x

追问

全微分方程一定有∂P/∂y=∂Q/∂x吗

追答

前提是∂P/∂y和∂Q/∂x连续，这是混合偏导数相等的条件

追问

请问我的做法哪错了，答案是八派

Answer 3