Question

中考数学压轴

这个题第三问怎么说明当E分别落在AB上及其延长线上时，BF分别有最大值和最小值，给下证明吧

Answer 1

如图所示，因为△BDE旋转时点A、B为固定点，BE长恒不变，

所以点E的运动轨迹是以点B为圆心，BE长为半径的圆，

又因为点F为AE中点，所以点F的运动轨迹也是一个圆，

且圆心在AB上（该题经计算可知圆心恰为图示中的点E1），

显然当点F在点F1处，即点E在AB上的点E1处时BF取得最大值，

当点F在点F2处，即点E在AB延长线上的点E2处时BF取得最小值。

追问

F的运动轨迹为什么是以E1点为圆心的

追答

如下图所示为除BE≠2√2以外条件均与题目一致的图示，

因为旋转时点A、B为固定点，点E的运动轨迹是一个圆，

点F为AE中点，即AE=2AF，所以点F的运动轨迹也是一个圆，

且圆心B和圆心O也会有AB=2AO的关系，即点O为AB中点，

所以无论BE取何值（在线段BC范围内），点F的轨迹圆圆心恒为AB的中点，

在该题中由于恰有AB=2BE1，所以才有点F的轨迹圆圆心是点E1的说法，

由于这是特殊情况，所以我才加上括号，

表示只是顺便说明一下而已，不具有普遍性。

Answer 2

分析：（1）结论：FD=FC，DF垂直于CF。用直角三角形斜边中线定理就可以证明。
（2）延长AC到M使CM等于CA，延长ED到N，使DN=DE，。。。如图2，想办法使三角形A BN与三角形MBE完全相等，推出AN=EM，再利用三角形中位线定理就可解决问题。
（3）分别求出bf的最大值和最小值，就可解决问题。

追问

第三问最大最小的结论是怎么证明的

Answer 3

第三问的两种解法