Question

如图，计算曲面积分

这两步的展开详细步骤是什么?谢谢！

Answer 1

3∫∫∫∑ zdxdydz
=3∫(0→1) zdz∫∫(x²+y²/4≤1-z) dxdy
=3∫(0→1) zdz∫ds [s为x²+y²/4=1-z的面积 ]
=3∫(0→1) zdzπ(1-z)½ ×2(1-z)½
=6π∫(0→1) z(1-z)dz
=6π(1/2 z²-1/3 z³)|0→1
=6π×1/6
=π

x²+y²/4=1-z x=(1-z)½cosθ y=2(1-z)½sinθ
椭圆面积s=4∫(0→(1-z)½) ydx
=4∫(π/2→0) 2(1-z)½sinθd[(1-z)½cosθ]
=-4∫(π/2→0) 2(1-z)sin²θdθ
= 4∫(π/2→0) (1-z)(cos2θ-1)dθ
=4(1-z)(1/2 sin2θ-θ)|π/2→0
=0-4(1-z)(-π/2)
=2π(1-z)
[椭圆面积=πab，(a，b为长短轴长度)]

∫∫(x²+y²/4≤1-z) dxdy
=∫(-(1-z)½→(1-z)½) dx∫[-2[(1-z)-x²]½→2[(1-z)-x²]½]dy
=∫(-(1-z)½→(1-z)½) 4[(1-z)-x²]½]dx
令x=(1-z)½cosθ
=∫(π→0) 4(1-z)(-sin²θ)dθ
具体就不算了

∫∫(x²+y²/4≤1 )3xydxdy
=∫(-1→1) 3xdx∫[-2(1-x²)½→2(1-x²)½] ydy
=∫(-1→1) 3xdx 1/2y²|-2(1-x²)½→2(1-x²)½
=0

追答

椭圆面积s=πab(a，b为半长短轴的长度)

Answer 2

这个可以补上y=0处的线段L1：0<=x<=4，然后在闭区域上用格林公式，设半圆周为L，P=y+2xy，Q=x^2+2x+y^2 所以Q'x-P'y=(2x+2)-(1+2x)=1 原积分 =∫L (Pdx+Qdy) =∫L+L1 (Pdx+Qdy) - ∫L1 (Pdx+Qdy) =∫∫(Q'-P'y)dxdy -0 =∫∫dxdy =2π

Answer 3

画图理解吧。