Question

一道线性代数高数题目求助

两个相似矩阵拥有线性无关的特征向量的数量一定相等吗，为什么

Answer 1

两个矩阵相似特征多项式相同，特征值相同 ，因此特征个数相等并且同一特征值对应的特征向量有如下的关系。
证明如下望采纳
矩阵A与矩阵B相似，存在逆阵
P,使得p-1Ap=B
设A的特征值为a，则该特征值对应的特征向量为v，则有
Av=av
pBp-1v=av
B(p-1v)=p-1av=a(p-1v)
故根据特征值特征向量的关系式
矩阵B的特征向量为p-1v
得出结论
若p-1Ap=B,A的特征值对应的特征向量为v，则B该特征值下对应的特征向量为p-1v
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追问

为什么数量相同

追答

因为对应特征向量有矩阵对应关系，所以A有几个特征值B也有几个

因为存在对应关系

就好比1,2,3…对应其2倍的2,4,6

是一个道理，所以个数肯定是相等的

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