求 ∫ x/(1-x^3) dx ！！
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x/(1-x^3)=x/[(1-x)(1+x+x²)]
设x/(1-x^3)=A/(1-x)+(Bx+C)/(1+x+x²)
右边通分后与左边比较系数可解得：A=1/3，B=1/3，C=-1/3
因此：x/(1-x^3)=(1/3)[1/(1-x)]+(1/3)[(x-1)/(1+x+x²)]
∫
x/(1-x³)
dx
=(1/3)∫
1/(1-x)
dx
+
(1/3)∫
(x-1)/(1+x+x²)
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)∫
(2x+1-3)/(1+x+x²)
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)∫
(2x+1)/(1+x+x²)
dx
-
(1/2)∫
1/(1+x+x²)
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)∫
1/(1+x+x²)
d(x²+x)
-
(1/2)∫
1/[(x+1/2)²+3/4]
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)ln(1+x+x²)
-
(1/√3)arctan[(2x+1)/√3]
+
C
【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。
设x/(1-x^3)=A/(1-x)+(Bx+C)/(1+x+x²)
右边通分后与左边比较系数可解得：A=1/3，B=1/3，C=-1/3
因此：x/(1-x^3)=(1/3)[1/(1-x)]+(1/3)[(x-1)/(1+x+x²)]
∫
x/(1-x³)
dx
=(1/3)∫
1/(1-x)
dx
+
(1/3)∫
(x-1)/(1+x+x²)
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)∫
(2x+1-3)/(1+x+x²)
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)∫
(2x+1)/(1+x+x²)
dx
-
(1/2)∫
1/(1+x+x²)
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)∫
1/(1+x+x²)
d(x²+x)
-
(1/2)∫
1/[(x+1/2)²+3/4]
dx
=-(1/3)ln|x-1|
+
(1/6)ln(1+x+x²)
-
(1/√3)arctan[(2x+1)/√3]
+
C
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