Question

微积分:设f(x)与g(x)在【a，b)上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=0，证明

证明:在(a，b)内至少存在一点§，使得f'(§)=g'(§)f(§)

Answer 1

考察函数 F(x) = f(x)*e^[-g(x)]，
它在 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，
且 F(a)=F(b)=0，由罗尔中值定理知，存在 ξ∈（a，b）使
F '(ξ) = 0，
即 f '(ξ)*e^[-g(ξ)] - f(ξ)*g '(ξ) * e^[-g(ξ)] = 0，
由于 e^[-g(ξ)] > 0，因此可得 f '(ξ) - f(ξ) * g '(ξ) = 0，
所以 f '(ξ) = g '(ξ) * f(ξ) 。

Answer 2

根据微分中值定理?ξn∈[x，x+1/n]，使n[f（x+1／n）-f（x）]=n·f'(ξn)·（1/n）=f‘（ξ）由于I是区间，对于I中?x，必存在x的一个邻域O（x，ρ）使O（x，ρ）?I 于是?N’=1/ρ，当n>N时，ξ∈[x，x+1/n]?O（x，ρ）?I 由f’（x）在I上的一致连续性，对于?ε>0，?δ，对?x1，x2∈I，当|x1-x2|<δ时，就有 |f‘（x1）-f（x2）|n，?N>N'，当n>N时，就有 |x+1/n-x|=(1/n)<δ且|x+1/n-x|=(1/n)<ρ（注：保证x+1/n也是I上的点），由于|ξn-x|<(1/n)<δ，于是就有|f’（x）-f'（ξn）|<ε，即|Fn(x)-f’（x）|<ε，注意到所取的N与x无关，所以Fn（x）在I上一致收敛于f‘（x）

追问

天呐答的是什么