Question

求极限数学题？

一共三题，求大神解答，需要详细步骤

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Answer 1

第一张图片，分式加减，一般都要通分，
=lim《x趋于0》[(tanx-x)/(x^2*tanx)]
=lim《x趋于0》[(sinx/cosx-x)/(x^3)] 分母tanx用x代替，分子不能，可用sinx/cosx代替
=lim《x趋于0》[(x-x^3/6-x)/(x^3)] 分子中，分母cosx用1代替，分子sinx不能用x代替，
=-1/6
第2张图片，上面一题肯定漏写了x，极限等于0，否则极限不存在，趋于负无穷，
下面一题，
=lim《x趋于0+》[cos(根号x)]^(pi/x)
=lim《x趋于0+》[1-x/2]^(pi/x)
=lim《x趋于0+》e^[(-x/2)*(pi/x)]
=e^(-pi/2)

Answer 2

06) x-->0 时, 1/x^2 - 1/xtgx = 1/x^2 - cosx/xsinx= [sinx - xcosx]/(x^2 sinx),用洛必达法则有
cosx-cosx+xsinx/(2xsinx+x^2cosx)= xsinx/(2xsinx+x^2cosx), 上下同时除以xsinx，最终极限＝1/3
16) x-->0+时，lnx的极限＝-∞
17) [cosx^(1/2)]^(π/x) = e^[(π/x)*lncos x^(1/2)]= e^[(πlncos x^(1/2)/x)*)
当x-->0+时，其中lncos x^(1/2)/x的极限为-1/2
（用洛必达法则后有1/cosx^(1/2) *[-sin x^(1/2)]*[1/2x^(1/2)], 当x-->0+时极限为-1/2)
所以最终极限为：e^(-1π/2)

Answer 3

(1)
x->0
tanx = x+(1/3)x^3+o(x^3)
tanx -x =(1/3)x^3+o(x^3)
lim(x->0) [ 1/x^2 -1/(x.tanx) ]
=lim(x->0) (tanx-x)/(x^2. tanx)
=lim(x->0) (tanx-x)/x^3
=lim(x->0) (1/3)x^3/x^3
=1/3
(2)
lim(x->0+) lnx -> -∞
(3)
x->0+
cos√x = 1- (1/2)x +o(x)
lim(x->0+) (cos√x)^(π/x)
=lim(x->0+) [1 - (1/2)x] ^(π/x)
=e^(-π/2)