Question

这个积分上限函数可以直接这样求导吗？不可以的话，为什么？

这个积分上限函数可以直接这样求导吗？不可以的话，为什么？如图

Answer 1

不可以。应为：
令 x+t = u， 则 t = u-x， dt = du
f(x) = ∫<1, x>ln(t+x)dt = ∫<x+1, 2x>lnudu
f'(x) = 2ln(2x)-ln(x+1) = ln[4x^2/(x+1)]

追问

你好，计算这个反常积分，可以直接裂项，然后把无穷带到结果里吗？

追答

追答：直接化部分分式积分可以，但不能先代值，再相减，注意 (+∞) - (+∞) 不一定是 0.
要原函数先相减，再代值求极限。
即 原式 = lim[lnx-(1/2)ln(1+x^2)]
= (1/2)lim[ln{x^2/(1+x^2)}]
= (1/2){limln[1/(1/b^2+1)]+ln2} = (1/2)ln2

追问

你好，我还是有点想不明白

像这道题这里，f（x-t+1）这里面为什么一定要用还元法换成u，然后后面是du，求导的时候直接把x代进去结果是f（1）为什么是错的？

我可以给你追加很多分的，麻烦你给我解答一下了

追答

如果被积函数自变量中含 x，不能代用变限积分求导的公式（因没有相应公式）。
解这种题目的目标就是要化被积函数中只含积分变量，不含 x， 才能代用变限积分求导的公式。为此，令 x-t+1 = u, 则 t = x+1-u， dt = -du， 得
[∫f(x-t+1)dt]' = [∫f(u)(-du)]' = [∫f(u)du]' = f(x)
你写的等于 f(1) 不对。

Answer 2

对于积分来说，t是积分变量，x是积分上限，x视为常量。
在换元2x-t=u中，t是原积分变量，u是换元后的新积分变量，
u是t的函数，u不是x的函数。
换元后的第一个积分相当于∫〔a到2a〕【2af(u)】du，
所以其中的a【即x】是可以提出去的。

Answer 3

let
u= t+x
du = dt
t=1 , u= 1+x
t=x , u=2x
f(x)
=∫(1->x) ln(t+x) dt
=∫(1+x->2x) lnu du
f'(x) = 2ln(2x) - ln(1+x)