Question

证明函数可导

都知道要证明一个函数在某一点可导要先证明函数连续，在证在那一点导数存在，在证明在这一点的左右极限相等。这都是书上讲的话，我有一点不明白，证明函数的左右极限相等都有什么方法呢？最好能举个例子，附上一道例题，谢谢~~

Answer 1

首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f'(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

追问

比方说f(x)在证明了连续性和存在性之后证明左右极限相等，有什么具体方法吗？
还是说只能证明limh↘0(f(x+h)-f(x))/h=limh↗0(f (x + h) - f (x))/h
，但我又有一种错觉，认为h↘0和h↗0时，两个极限是一正一负的，感觉不会相等，所以想问一下有没有别的方法

Answer 2