Question

换元积分法求不定积分

Answer 1

Answer 2

令 u＝sinx，则 du＝cosxdx，
原式＝∫1/(u³ - u) du，
设 1/(u³-u)＝A/u＋B/(u＋1)＋C/(u-1)，
则1＝A(u²-1)＋B(u²-u)＋C(u²＋u)，
令 u＝0 得 A＝-1，
令 u＝1 得 C＝1/2，
令 u＝-1 得 B＝1/2，所以
原式＝∫[-1/u＋1/2(u＋1)＋1/2(u-1)]du
＝-ln|u|＋1/2 ln|u＋1|＋1/2 ln|u-1|＋C
＝-ln|sinx|＋1/2 ln|sin²x-1|＋C
＝-ln|sinx|＋ln|cosx|＋C
＝-ln|tanx|＋C

Answer 3

令x＝tanu,则：dx＝［1/（cosu）^2］du.
∴∫［1/√（1－x^2）^3］dx
＝∫｛1/［1/（cosu）^3］［1/（cosu）^2］du
＝∫cosudu
＝sinu＋C
＝√｛（sinu）^2/［（sinu）^2＋（cosu）^2］｝＋C
＝√｛（tanu）^2/［1＋（tanu）^2］｝＋C
＝√［x^2/（1＋x^2）］＋C
＝x√（1＋x^2）/（1＋x^2）＋C

Answer 4

令sinx=t 则 dt=cosxdx, 带入
=∫1/[t^3-t)]dt
=∫[t/(t^2-1) -1/t]dt
=-1/2ln|1-t^2|-lnt+c
带入x
=-ln|cosxsinx|+c