Question

求(x*sinx÷(1+cosx^2) 区间在0到π的定积分

具体步骤，要非常具体

Answer 1

(x*sinx÷(1+cosx^2) 

=-∫√（1+(cos x)^2)dcosx

令t=cosx
原式=-∫√（1+t^2)dt 上限是-1,下限是1

再令t=tanu （正切）,则dt=（secu）^2 du

原式=-∫√（1+（tanu）^2)*（secu）^2 du 上限是-π/4,下限是π/4

=-∫（secu）^3 du

=-∫1/（cosu）^3 du

=-∫cosu/（cosu）^4 du

=-∫1/（1-(sinu)^2）^2 dsinu

再令sinu=y,上限是-√2/2,下限是√2/2

原式=-∫1/（1-y^2）^2 dy

=-1/4*∫[1/（1-y）^2+1/(1-y)+1/(1+y)+1/(1+y)^2] dy

=-1/4*[1/(1-y)-1/(1+y)+ln|(1-y)(1+y)|)]+C (C为常数)

=-1/4*[2y/(1-y^2)+ln|1-y^2|]+C

再把上限-√2/2,下限√2/2代进去

得到原定积分=-1/4*(-4√2)

=√2

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

如图所示：

Answer 3

∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
令x=π-u u∈[π，0]，则
∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
=∫π→0 (π-u)sin(π-u)/[1+cos²(π-u)]d(π-u)
=-∫π→0 (π-u)sinu/(1+cos²u)du
=∫0→π (π-u)sinu/(1+cos²u)du
=π∫0→π sinu/(1+cos²u)du-∫0→π usinu/(1+cos²u)du
=π∫0→π sinx/(1+cos²x)dx-∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
所以2∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx=π∫0→π sinx/(1+cos²x)dx
∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
=π/2∫0→π sinx/(1+cos²x)dx
=-π/2∫0→π 1/(1+cos²x) dcosx
=-π/2 arctan(cosx) |0→π
=-π/2 [arctan(-1)-arctan(1)]
=-π/2(-π/4 -π/4)
=π²/4