Question

线性代数问题求解

B的一百次方拆开后为什么＝E+100C

Answer 1

将矩阵B拆写为
B=E+C

注意到矩阵C的特点
直接计算可得
C^2=0
那么C^3,…C^n都是0矩阵。
又单位矩阵E与矩阵C相乘是可以交换的，所以
(E+C)^n可按中学学过的二项式定理展开。
显然展开式从第三项起就必含有
C^2,C^3,…C^n的因子，故这些项都为0，从而只有前两项不为0，即只有
取n=100. 则只有两项
(E+C)^100=E+100C

Answer 2

因为EC=CE=C
也就是E和C相乘满足交换律。
那么（E+C）的100次方，就可以象我们计算两个未知数的100次方那样展开。
再注意C²=0，所以展开项里C的2次项以上都是0。
所以只剩下前两项，即E
+100C。

Answer 3

数学归纳法：n=2

（E+C）（E+C）
=EE+EC+CE+CC
=E+2C+CC
CC=
0,1
0,0
*
0,1
0,0
=
0,0
0,0
=0
∴
（E+C）（E+C）=E+2C
设n=k时，（E+C）^k=(E+kC)
n=k+1
（E+C）^（k+1）=（E+C）^k（E+C）
=(E+kC)（E+C）
=EE+EC+kCE+kCC
=E+（k+1）C
成立。
所以（E+C）^n=E+nC