Question

7的k次方整除(992×……1992),k最大为多少？

Answer 1

一、因为992/7=141……5
所以994含有因数7，994+7k都有因数7
如果994+7k≤1992
7k≤998，k≤998/7=142又4/7，k≤142
这样至少含有一个7因数的数有：994.1001.1008.…….1988共有143个。
二、7²=49，设992≤49m≤1992 ，
20又12/49≤m≤40又32/49
即：21≤m≤40，所以有1029.1078.…….1960共20个数字含有7²。
三、再看7³=343，设992≤343n≤1992
解得：2.9≤n≤5.8，即3≤n≤5，共有3个数字含有7³。
四、7^4=2401>1902，说明，在992-1992这个范围内，没有一个数字中含有4个7这样的因数。
五、综上所述，992×993×……×1992的乘积中，含有因数7的个数是：143+20+3=166个。
六、所以，如果7^k能够整除992×993×……×1992的积，则k最大我166。