Question

已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x的平方+4x，求f（1-根号2）的值？ 我要详细的答案

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c(说明：^
2
表示平方)

那么f(x+1)+f(x-1)=2a(x^2+1)+2bx+2c=2x的平方+4x
(将两个函数代入并化简)

所以ax^2+bx+c+a=x^2+2x

根据两边对应相等可知，a=1,b=2,c=-1

所以，f(x)=x^2+2x-1

f(1-根号2)=4-4根号2

Answer 2

令f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c
=2ax^2+2bx+2a+2b+2c
=2x^2-4x
根据系数相对应

所以2a=2,2b=-4,2a+2b+2c=0

即
a=1,b=-2,c=1

所以f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2

f(1-根号2)=(1-1+根号2)^2

=2
f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2
f(1+√2)=(1+√2-1)^2=2