Question

如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形 ADFE 的形状，并证明你的结论

Answer 1

角FCB=角DCA=60度
因为角FCB=角FCA+角ACB.
角DCA=角FCA+角DCF
所以角ACB=角DCF
同时
AC=DC
BC=FC
因此
三角形ACB与DCF全等，DF=AB
=AE
同理
EF=AD
另外，360度=角CAE+角EAB+角BAC+角DAC=角CAE+60度+角BAC+60度=角CAE+角BAC+120度
则
角CAE=240度-角BAC
（1）四边形ADFE的对边相等。
（2）只要三角形ABC不是等边三角形（此时
角CAE=180度
CAEF在一条直线上）四边形ADFE就是平行四边形（因其对边相等）。
（3）当三角形ABC的角A=150度时，角DAE=90度，四边形ADFE就是矩形。
（4）当三角形ABC是等腰三角形（AB=AC)
时，四边形ADFE的四条边相等，四边形ADFE就是菱形。
（5）当三角形ABC的角A=150度，AB=AC
时，四边形ADFE就是正方形。

Answer 2

平行四边形因为角BCF=ACD=60度
所以
角BCF-角ACF=角ACD-角ACF
即角BAC=
FCD
又因为BC=CF
AC=AD
所以三角形ACB全等FCD
所以FD=AB
因为AB=AE
所以FD=AE
同理可证三角形BEF全等BAC
得EF=AC
因为AC=AD
得
EF=AD
所以四边形ADFE是平行四边形