Question

已知函数f(x)=(bx+c)/(ax^2+1),(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数，f(x)有最大值1/2，且f(1)>2/5

Answer 1

解：因f(x)为奇函数,易得c=0.由y==(bx+c)／(ax2+1),得
ayx2-bx+y=0,由判别式法得
ymax=b/2sqrt(a)=1/2,得a=b2
又f(1)=b/(a+1)>2/5,a>0,b自然数.5b>2a+2
5b>2+2b2
1/2<b<2,故b=1,a=1.f(X)=x/(x2+1)
假设存在直线l:y=kx+1符合题设.设交于P,Q两点,
且P(X1,KX1+1),则Q(-X1,1-KX1)在Y=f(x)图象上.
kx1+1=x1/(x12+1)
(1)
1-
kx1=-x1/(x12+1)
(2)
两式相加得
2=(x1-x1)/(x12+1)=0矛盾.
故不存在符合条件之直线.