Question

在三角形ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D

Answer 1

四边形ABCP在一个圆周上(四点共圆)，所以内对角互补，因此角ABC=180-角APC=角DPC
所以在三角形DPC和DAB中，角D共用，角ABC=角DPC，两个三角形相似。
因此PC/PD=AB/BD，又因为AB=AC，所以PC/PD=AC/BD
也就是PC/AC=PD/BD
连接BP，
根据弧角关系，得知角APB=角ACB=角ABC=角DPC(最后一个是刚才的相似三角形证明得到的)
所以角APC=APB+BPC=角DPB
而角PAC=角PBC
(在圆周上对应等弧)
所以角ACP
=
180
-
角PAC
-
角APC
=
180
-
角DPB
-
角PBC
=
角D
所以三角形APC和三角形ACD相似
所以AP/AC=AC/AD
所以AP*AD=AC^2=9