Question

设AB为过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点的弦，则|AB|的最小值为（　　） A． P 2 B．P C

Answer 1

要证明以ab为直径的圆必与抛物线的准线相切，就要满足圆心o到准线的距离为ab一半(即半径）。
已知a(x1,y1),b(x2,y2)，设焦点为f
因为抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离
所以ab=af+bf=x1+p/2+x2+p/2=x1+x2+p
而o为ab的中点，坐标为（x1+x2/2，y1+y2/2）
所以o到准线的距离=
x1+x2/2+p/2=ab/2
得证

Answer 2

解；焦点F坐标（
p
2
，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-
p
2
）
联立y
2
=2px得k
2
x
2
-（pk
2
+2p）x+
p
2
k
2
4
=0
由韦达定理得x
1
+x
2
=p+
2p
k
2
|AB|=x
1
+x
2
+p=2p+
2p
k
2
=2p（1+
1
k
2
）
因为k=tana，所以1+
1
k
2
=1+
1
tan
2
α
=
1
sin
2
α
所以|AB|=
2p
sin
2
α
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故选C