Question

已知f(x)=ax+1/x-1, x>1, f(2)=3.（1）求a的值（2）判断并证明函数单调性。

Answer 1

（1）因为f(2)=3，带入原方程，得a=7/4。（2）对原式求导，得f'(x)=7/4-1/x的平方，使f'(x)>0，解得x>2分之根号7，即当x>2分之根号7时，函数单调递增;当1<x<2分之根号7时，函数单调递减

Answer 2

设f（x）是定义在R＋上的增函数，并且对任意的x＞0，y＞0，f（xy）＝f（x）＋f（y）总成立。
（1）求证：x＞1时，f（x）＞0
（2）如果f（3）＝1，解不等式f（x）＞f（x－1）＋2
解：1.由对任意的x＞0，y＞0，f（xy）＝f（x）＋f（y）总成立。
f(1)=f(1*1）=f(1)+f(1)
f(1)=0
又f（x）是定义在R＋上的增函数
x＞1时，f（x）＞0
2.f（3）＝1
由对任意的x＞0，y＞0，f（xy）＝f（x）＋f（y）总成立。
所以,2=1+1=f（3）+f（3）=f（9)
不等式f（x）＞f（x－1）＋2等价于
f（x）＞f（x－1）＋f（9)
f（x）＞f[9(x－1）]
而f（x）是定义在R＋上的增函数
所以x>0
9(x－1)>0
x>9(x－1)
所以解集为{x|1<x<9/8}