设f(x)在x=0处连续,且limx->0f(x)-1/x=a(a为常数),求f(0),f'(0)

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掌秀荣藩缎
2020-04-24 · TA获得超过3.7万个赞
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显然对于极限limx->0
[f(x)-1]
/x,
在x趋于0的时候,其分母x就趋于0
那么如果极限值存在的话,显然分子也必须趋于0,
即f(x)-1=0,所以f(0)=0
而由洛必达法则可以知道,极限值等于对分子分母同时求导
即limx->0
[f(x)-1]
/x=
limx->0
f
'(x)
/1
=a
所以limx->0
f
'(x)=a,即f
'(0)=a
毕付友巢子
2019-03-22 · TA获得超过3.6万个赞
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∵φ(x)
=∫
1
0
f(xt)dt
令u=xt
.
1
x

x
0
f(u)du,
∴φ′(x)=
f(x)
x
?

x
0
f(u)du
x2
(x≠0),
又由f(x)连续且
lim
x→0
f(x)
x
=a(a为常数),
得:f(0)=0,f′(0)=a,
再在φ(x)
=∫
1
0
f(xt)dt中,令x=0,得:φ(0)=0,
于是,
φ′(0)=
lim
x→0
φ(x)
x

lim
x→0

x
0
f(u)du
x2
=
lim
x→0
f(x)
2x

a
2

从而:
φ′(x)=
f(x)
x
?

x
0
f(u)du
x2
,x≠0
a
2
,x=0


lim
x→0
φ′(x)=
lim
x→0
[
f(x)
x
?

x
0
f(u)du
x2
]=
lim
x→0
f(x)
x
?
lim
x→0

x
0
f(u)du
x2
=a?
lim
x→0
f(x)
2x
=a?
1
2
a=
a
2
=φ′(0)
∴φ′(x)在x=0处连续
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