Question

设f(x)在x=0处连续,且limx->0f(x)-1/x=a(a为常数),求f(0),f'(0)

Answer 1

显然对于极限limx->0
[f(x)-1]
/x，
在x趋于0的时候，其分母x就趋于0
那么如果极限值存在的话，显然分子也必须趋于0，
即f(x)-1=0，所以f(0)=0
而由洛必达法则可以知道，极限值等于对分子分母同时求导
即limx->0
[f(x)-1]
/x=
limx->0
f
'(x)
/1
=a
所以limx->0
f
'(x)=a，即f
'(0)=a

Answer 2

∵φ(x)
＝∫
1
0
f(xt)dt
令u＝xt
.
1
x
∫
x
0
f(u)du，
∴φ′(x)＝
f(x)
x
?
∫
x
0
f(u)du
x2
（x≠0），
又由f（x）连续且
lim
x→0
f(x)
x
＝a（a为常数），
得：f（0）=0，f′（0）=a，
再在φ(x)
＝∫
1
0
f(xt)dt中，令x=0，得：φ（0）=0，
于是，
φ′(0)＝
lim
x→0
φ(x)
x
＝
lim
x→0
∫
x
0
f(u)du
x2
=
lim
x→0
f(x)
2x
＝
a
2
，
从而：
φ′(x)＝
f(x)
x
?
∫
x
0
f(u)du
x2
，x≠0
a
2
，x＝0
，
又
lim
x→0
φ′(x)＝
lim
x→0
[
f(x)
x
?
∫
x
0
f(u)du
x2
]=
lim
x→0
f(x)
x
?
lim
x→0
∫
x
0
f(u)du
x2
＝a?
lim
x→0
f(x)
2x
=a?
1
2
a＝
a
2
=φ′（0）
∴φ′（x）在x=0处连续