Question

如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC（2）

Answer 1

（1）证明：由题意知：
A≠
π
2
，
B≠
π
2
，
C≠
π
2
，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分）
又∵tan（A+B）=
tanA+tanB
1-tanAtanB
…．…（2分）
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分）
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分）
（2）由
cosB=
12
13
＞0
知道：
B∈(0，
π
2
)
，
∵sin
2
B+cos
2
B=1，∴sinB=
5
13
…．…（6分）
而sinA＞sinB，∴A＞B
①当A∈（0，
π
2
）时，cosA=
3
5
…（7分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=
4
5
×
5
13
-
3
5
×
2
13
=-
16
65
…．…（9分）
②当A∈（
π
2
，π）时，cosA=-
3
5
…．…（10分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=
4
5
×
5
13
-(-
3
5
)×
2
13
=
56
65
…（12分）