Question

为什么lim （x趋于0）(1+x)^(1/x)等于e？

Answer 1

因为x趋于0，所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e
解题过程如下：
原式
=
lim
(e^(ln(1+x)/x)
-e)/x
=lim
e(e^(ln(1+x)/x
-
1)
-1
)
/x
=lim
e(ln(1+x)/x
-1)/x
=e
lim
(ln(1+x)-x)/x²
=e
lim
(1/(1+x)-1)
/
2x
=e
lim
-x/(2x(1+x))
=lim[(1+x)^(1/x)]
=lim(1+x)^∞
=e
扩展资料
求函数极限的方法：
利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

解：本题利用了洛必达法则进行求解。
首先需要设y=(1+1/x)^x，
两边同时取自然对数得
lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)
由洛必达法则lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)]
(1/x)
'/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】
即lim(x→∞)
(1+1/x)^x=e。
扩展资料：
洛必达法则的应用条件：
一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；
二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
参考资料来源：搜狗百科-
洛必达法则

Answer 3

解：设y=（1+x）^（1/x）
两边同时取自然对数得
lny=（1/x）ln(1+x)=ln(1+x)/x
则得lny=ln(1+x)/x=1（当x趋于0时）
所以lny=1=lne
即y=e

Answer 4

设y=(1+1/x)^x
两边同时取自然对数得
lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)
由罗比达法则lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)]
(1/x)
'/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】
即lim(x→∞)
(1+1/x)^x=e

Answer 5

极限不存在
原式
=lim
|x|/x
而lim(x趋于0+）
|x|/x
=lim(x趋于0+）
x/x
=1
lim(x趋于0-）
|x|/x
=lim(x趋于0-）
-x/x
=
-1
左右极限值不相等，故极限不存在