Question

分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3并根据你发现的规律

Answer 1

1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3我们先把1先放一边不考虑!
所以原式就成了x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3=x(1+x)^0+x(1+x)^1+x(1+x)^2+x(1+x)^3注意观察,这是一个以x为首项,1+x为公比的等比数列,等比数列的求和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q),带入可以得到Sn=x｛1-(1+x)^4｝/｛1-(1+x)｝=(1+x)^4-1这时候我们把刚开始的时候的1加上去.所以因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3=(1+x)^3-1+1=(1+x)^4
所以推广到一般情况,1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+......+x(1+x)^(n-1)=(1+x)^(n-1+1)=(1+x)^n