Question

如图，在△ABC中，∠A=120°，P为△ABC内一点。求证：PA+PB+PC＞AB+AC

Answer 1

已知：三角形ABC中，∠A=120，P为三角形ABC内一点。求证：PA+PB+PC>AB+AC
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证明：把三角形PAB绕A点顺时针旋转60度得三角形QAD，则D，A，C在同一直线上。
AP=AQ，AB=AD，且角PAQ=角BAD=60
所以，三角形PAQ和三角形BAD均为正三角形。
所以，AP=PQ，AD=AB
由三角形APB全等于三角形AQD知：PB=QD
而DQ+PQ+PC>AD+AC,即：PA+PB+PC>AB+AC
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据三角形三边关系。
在三角形PAB中恒有AP＋PB>AB，同理：AP＋PC>AC，PB＋PC大>BC。所以2(AP＋BP＋CP)>AB＋AC+BC.又因为角BAC为120度，有角BPC恒大于120度.由余弦定理可判定BP＋CP>AB+AC,所以有AP+BP+CP>AB+AC
看看那种和使用哪种，希望能帮到你。。