Question

对数换底公式证明？

Answer 1

换底公式的形式
　　换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
　　log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
　　换底公式就是
　　log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
编辑本段换底公式的推导过程
　　若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）
　　则
log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
　　根据
对数的基本公式
　　log(a）(M^n)=nloga(M)和
基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)
M
　　易得
　　log(n^x)(n^y)=y/x
　　由
a=n^x,b=n^y可得
x=log(n)(a),y=log(n)(b)
　　则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
　　得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
　　例子：log(a)(c)
*
log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)
*log(c)(a)=log(c)(c)=1

Answer 2

n
设y＝loga
y
则a
＝n．
两边取以a为底的对数
a
n
ylogm
＝logm
n
logm
y＝－－－－－
a
logm
n
n
logm
即
loga
＝－－－－－－
a
．
logm
设a^b=n…………①
则b=logan…………②
把②代入①即得对数恒等式：
a^(logan)=n…………③
把③两边取以m为底的对数得
logan·logma=logmn
所以
logan=(logmn)/(logma)