Question

∫x²e^(-x²)dx在负无穷到正无穷的积分为多少，为什么？

Answer 1

x^2*e^(-x^2)dx
=-(x/2)d(e^(-x^2))
由上式用"分部积分公式"，得到前面一部分是-(x/2)*(e^(-x^2))l上面正无穷，下面负无穷，这一项的值为零，后面一部分还是一个反常（广义）积分，就是积分(1/2)e^(-x^2)dx，从负无穷到正无穷。
这一部分需要用到二重积分，不能直接计算，我们先算其平方，写成两个相同积分的乘积，然后把其中一个积分的积分变量由原来的x变成y。这样就成了一个累次积分，再把这个累次积分转换成二重积分，此时积分中的微分变成是dxdy，被积函数是(1/4)e^(-x^2-y^2)
再引入一般的极坐标变换，变量变成r和θ，被积函数是(1/4)re^(-r^2),微分是drdθ，r从0到正无穷，θ是从0到2π。
到这一步的积分你应该可以自己计算出来了，结果是π/4。
最后再开方得到原来积分的结果是√π/2
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朋友，这个题的难度跟你出的5分不太等值吧。