Question

计算 ∫ ∫∑（x^2+y^2）dS,其中为∑球面x^2+y^2+z^2=a^2 计算曲面积分

Answer 1

Z=±√aa-xx-yy

Z'x=±（-x/√aa-xx-yy）

Z'y=±（-y/√aa-xx-yy）

dS=√1+(Z'x)^2+(Z'y)^2dxdy

=adxdy√aa-xx-yyyy，

∑在xoy面的投影区域D是xx+yy《aa，

原式=∫∫〔∑上半球面〕…+∫∫〔∑下半球面〕…

化成D上的二重积分并用极坐标计算得到

=2a∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕【rrr/√aa-rr】dr

=2aπ∫〔0到a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr)

=2aπ∫〔0到a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr)

=2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】

=8aaaaπ/3

引例

先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

Answer 2

高数曲面积分
，设∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2,则曲面积分(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫(x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz)ds
=∫∫(x²+y²+z²)ds+∫∫2xyds+
∫∫2yz
ds+∫∫
2xzds
=∫∫a
²ds
+0+0+0
=a²
•4πa²
=4πa^4
注：1、∫∫(x²+y²+z²)ds=∫∫a
²ds
（利用曲面积分可将曲面方程代入）
2、∫∫2xyds+
∫∫2yz
ds+∫∫
2xzds
=0+0+0
（利用曲面积分的对称性）

Answer 3

Z=±√aa-xx-yy，
Z'x=±（-x/√aa-xx-yy），
Z'y=±（-y/√aa-xx-yy），
dS=√1+(Z'x)^2+(Z'y)^2dxdy
=adxdy√aa-xx-yyyy，
∑在xoy面的投影区域D是xx+yy《aa，
原式=∫∫〔∑上半球面〕…+∫∫〔∑下半球面〕…
化成D上的二重积分并用极坐标计算得到
=2a∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕【rrr/√aa-rr】dr
=2aπ∫〔0到a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ∫〔0到a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr)
=2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】
=8aaaaπ/3。