Question

已知函数f(x)在其定义域内为减函数，且f(x)>0，求证：g(x)=1+2/f(x)在内为增函数.（数学题）

Answer 1

设g(x)的定义域为A,任取x1,x2属于A,且x1>x2,则f(x1)<f(x2),g(x1)/g(x2)=[1+2/f(x1)]/[1+2/f(x2)]=[f(x1)f(x2)+2f(x2)]/[f(x1)f(x2)+2f(x1)]>1，g(x1)>g(x2)，所以g(x)为增函数。

Answer 2

利用定义法，任取a、b在定义域内且有a<b，带入g(x)得g(a)、g(b)，再用差值法，g(a)-g(b)=2/f(a)-2/f(b)，因为f(x)为减函数，且f(x)>0，而a<b，所以有f(a)>f(b)，2/f(a)<2/f(b)，即g(a)<g(b)，故原命题成立。