Question

过点P(1,1)做曲线Y=X的三次方的两条切线的方程 求详解谢谢

Answer 1

y=x³
点P在曲线上
y'=3x²
①
P是切点
那么斜率是k=3
所以切线是y-1=3(x-1)
即y=3x-2
②
P不是切点
设切点是(a,a³)(a≠1)
那么切线斜率是k=3a²
所以k=3a²=(a³-1)/(a-1)=a²+a+1
所以2a²-a-1=0
故(a-1)(2a+1)=0
所以a=1（舍去）或a=-1/2
所以切点是(-1/2,-1/8),斜率是k=3/4
所以切线是y-1=(3/4)*(x-1)
即3x-4y+1=0

Answer 2

解，设切点坐标为（x0，x0的三次方）
则切线的斜率为k=y‘=3（x0）²
所以切线方程为y-（x0的三次方）=3（x0）²（x-x0）
将点（1,1）带入方程得
1-（x0的三次方）=3（x0）²（1-x0）整理得
2(x0)³-3（x0）²+1=0
2(x0)³-2（x0）²-（x0）²+1=0
因式分解得：（x0
-1）（2x0²-x0-1）=0
（x0
-1）²（2x0+1）=0
解得x0=1或x0=-1/2
所以切线方程为y=3x-2或y=0.75x+0.25

Answer 3

因为点P在曲线上，故其中一条即为以P点为切点的直线：
由y'=3x^2，
得y'(1)=3
故此切线为y=3(x-1)+1=3x-2
设另外的切线与曲线相切于(a,
a^3)
则切线为y=3a^2(x-a)+a^3=3a^2x-2a^3
代入（1，
1）得：1=3a^2-2a^3
2a^3-3a^2+1=0
2a^3-2a^2-a^2+1=0
(a-1)(2a^2-a-1)=0
(a-1)(a-1)(2a+1)=0
得：a=-1/2
故另一条切线为：y=3x/4+1/4