Question

用泰勒公式求一道题的极限

Answer 1

将f(x)=sinx,g(x)=cosx用泰勒公式在x=0处展开
它们的导数是有规律的分别按cosx,-sinx,-cosx,sinx和-sinx,-cosx,sinx,cosx循环。
f在x=0处的1,2,……阶导为数分别为1,0,-1,0,1……（循环）；
g在x=0处的1,2,……阶导数分别为0,-1,0,1,0……（循环）；
sinx=f(0)+∑(x-0)^i*fi(0)/i!
(i从0到正无穷）＝0+x/1!-x^3/3!+x^5/5!-……
cosx=g(0)+∑(x-0)^i*gi(0)/i!
(i从0到正无穷)=1-x^2/2!+x^4/4!-……
fi,gi,为f,g的i阶导数
代入所求式中
原式=lim(x→0)[x^3*(1/2!-1/3!)-(1/4!1/5!)x^5+……]/[x^3(1/1!-1/3!x^2+……)^3]
==lim(x→0)[(1/2!-1/3!)-(1/4!1/5!)x^2+……]/[(1/1!-1/3!x^2+……)^3]
=1/2!-1/3!
=1/3