Question

1.为什么说异面直线只有1条公垂线呢？2.如果一条直线与平面a相交，那么那条直线与平面内的无数条直线垂直

Answer 1

1、两条异面直线的公垂线定义：
与两条异面直线“都垂直”并且“都相交”的直线
该结论可以证明如下：
（反证法）设两条异面直线分别为a,b有两条公垂线n,m
n与a,b分别交于A，B,m与a,b分别交于C,D
将b平移至与a相交，则它们确定一个平面设为
则直线AB与直线CD都与平面α垂直，所以AB‖CD
所以点A、B、C、D四点共面，所以直线a,b共面，与异面相矛盾
2、该结论正确
证明如下：
一条直线l与平面α相交
如果l与平面α垂直，那结论显然成立
如果l与平面α不垂直，设l与平面α的交点为A
在l上任取一点P，过P作平面α的垂线，垂足为O
在平面α内只要作AO的垂线m，则m一定垂直于平面PAO
那m垂直于l
在平面α内所有与m平行的线都与l垂直，所以有无数条