Question

2012全国卷理科数学最后一题的详细答案

22(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效) 函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下:x1=2，xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。 (Ⅰ)证明:2 xn＜xn+1＜3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式。

Answer 1

过两点(a1，b1)，(a2，b2)公式为f(x)=(b2-b1)/(a2-a1)*(x-a1)+b1。
那么PQn过(Xn+1
，0)点。
即有(f(Xn)-5)/(Xn-4)(Xn+1
-4)+5=0,带入计算有
Xn+1=4-5/(xn
+2),
两边都+1，
则Xn+1
+1
=
5(xn
+1)/(xn
+2),倒过来，令yn=1/(xn
+1);
即得5*
yn+1
=1
+
yn;
两边减去5/4，有
5(yn+1
-1/4)=yn
-1/4;
由yn=1/(xn+1),知y1-1/4=1/3-1/4=1/12;
则yn=1/12*(1/5)^(n-1)+1/4;
则xn的通项公式为
xn=[9-(1/5)^(n-1)]/[(1/5)^(n-1)+3];(可带入n=2验算，得x2=(44/5)/(16/5)=11/4符合)
这里只写了第二问，但有此通项证明第一问亦无不可。
第一问思路
4-5/(x+2)>x,在x∈(-1,3)必然成立，则证明两边即可，归纳可得x<3,x>2。得证。