Question

已知函数f(x)=2^x+2^(ax+b),且f(1)=5/2,f(2)=17/4

(1)求a,b的值 （2）判断f(x)的奇偶性 （3）试判断f(x)在【负无穷，0】上的单调性，并证明；（4）求f（x）的最小值。

Answer 1

1)由f(1)=5/2,f(2)=17/4
代入，得
f(1)=2+2^(a+b)=5/2,
2^(a+b)=1/2
=>a+b=-1
①
f(2)=2^2+2^(2a+b)=17/4
2^(2a+b)=1/4,
=>2a+b=-2
②
联立①②，解得
a=-1,b=0
2）
所以f(x)的解析式为
f(x)=2^x+2^(-x)
f(-x)=2^(-x)+2^(x)=f(x)
所以f(x)是偶函数
3）f(x)=2^x+2^(-x)=2^x+1/2^x
x《0时，递减。
证明x1<x2《0
f(x1)-f(x2)
=2^x1-2^x2+1/2^x1-1/2^x2
=(2^x1-2^x2)+(2^x2-2^x1)/2^(x1+x2)
=(2^x1-2^x2)[1-1/2^(x1+x2)]
>0
所以f(x1)>f(2)
所以f(x)在(负无穷，0]递减
得证
2）f(x)=2^x+1/2^x
》2*[2^x*2^(-x)]^(1/2)
=2
当且仅当x=0时，取等。
所以f(x)的最小值为2