Question

怎么理解定积分中凑微分法？

f[g(x)]g'(x)这个g（x）怎么找，怎么凑，看了半天也无法理解。

Answer 1

找g(x)没有特定的方法，需要的是对积分表或微分表的熟练掌握，同时也需要一些经验。对于一些复杂的积分，可以通过对被积函数中某个部分求导，来试哪个部分可以凑微分。积分时需要能够同时看到g(x)和g'(x)的形式，或经过一些对被积函数的恒等变换之后能够同时看到g(x)和g'(x)的形式。
如
（1）求∫xsin(x²)dx，观察到x是x²的导数形式，可将x²看作g(x)，x看作g'(x)，得∫xsin(x²)dx=1/2·∫sin(x²)d(x²)=-1/2·cos(x²)+C，这是最简单的，幂函数的凑微分。
（2）求∫ (x+1)/[x(x+lnx)] dx，观察到(x+1)/x=(1+1/x)是(x+lnx)的导数形式，可将(x+lnx)看作g(x)，(x+1)/x看作g'(x)，得∫ (x+1)/[x(x+lnx)] dx=∫d(x+lnx)/(x+lnx)=ln|x+lnx|+C，能看出(x+1)/x是(x+lnx)的导数形式，需要一些观察能力。
（3）求∫secxdx，先恒等变换，∫secxdx=∫ (sec²x+secxtanx)/(secx+tanx) dx，观察到(sec²x+secxtanx)是(secx+tanx)的导数形式，可将(secx+tanx)看作g(x)，(sec²x+secxtanx)看作g'(x)，得∫secxdx=∫ (sec²x+secxtanx)/(secx+tanx) dx=∫d(secx+tanx)/(secx+tanx)=ln|secx+tanx|+C，先恒等变换再凑微分常用于三角函数，需要对常见三角函数的导数和积分熟练掌握和运用。
（4）求∫ ln(x+√(1+x²))/√(1+x²) dx，∫ ln(x+√(1+x²))/√(1+x²) dx=∫ln(x+√(1+x²))d(ln(x+√(1+x²)))=1/2·ln²(x+√(1+x²))+C，此处难以观察，可以对函数中复杂部分ln(x+√(1+x²))求导，发现其导数恰是1/√(1+x²) 的形式，进而凑微分。此处的dln(x+√(1+x²))=dx/√(1+x²)就是应积累为经验的部分，方便今后对其他被积函数凑微分。

追问

那我这样理解对吗？就是看被积函数里面哪个部分是哪个部分的导数形式，再凑成微分为导数乘dx的形式？比如说∫tanxdx=∫(sinx/cosx）sinx是cosx的导数，-∫1/cosx*(cosx)'*d(cosx)这样对吗？

Answer 2

你说的应该是f[g(x)]g'(x)dx=f[g(x)]dg(x)吧，这个很好理解啊

因为微分是可以上下拆开的，g'(x)=dg(x)/dx，dg(x)=g'(x)dx，将dg(x)和dx看成上下两个部分，被除数和除数就很好理解了，只不过他们有各自特殊的含义而已

常见的凑微分法有:(见下图)