Question

∫(xe^arctanx)/(1+x²)^3/2dx等于多少

Answer 1

∫
sint*e^tdt=e^t(sint-cost)/2+C
解题过程如下：
设x=tant,t=arctanx,dx=(sect)^2dt
cost=1/√(1+x^2),
sint=x/√(1+x^2)
原式=∫
tant*e^t*(sect)^2dt/([1+(tant)^2]^(3/2)
=∫
tant*e^t*(sect)^2dt/(sect)^3
=∫
sint*e^tdt
=e^t(sint-cost)/2+C
=e^(arctanx)[x/√(1+x^2)-1/√(1+x^2)]/2+C.
=e^(arctanx)/2[(x-1)/√(1+x^2)+C.
对∫
sint*e^tdt用分部积分,
u=sint,v'=e^t,
u'=cost,v=e^t,
∫
sint*e^tdt=e^tsint-∫
e^tcostdt,
∫
e^tcostdt
设u=cost,v'=e^t,
u'=-sint,v=e^t,
∫
e^tcostdt=cost*e^t+∫
e^tsintdt
∴∫
sint*e^tdt=e^tsint-cost*e^t-∫
e^tsintdt,
∴∫
sint*e^tdt=e^t(sint-cost)/2+C.
记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
扩展资料
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c