Question

这道摆线的二重积分怎么算

Answer 1

首先，二重积分化为累次积分后，被积表达式ydy应写成tdt以示与积分上限的区别。
其实，当把原积分化为先对y、后对x的积分时，在把x的积分限确定之后，为了确定y的积分限，通常的做法是在横轴坐标为x的变化区间内随便一点x处，作垂直于x轴的直线，从下向上看该直线时，直线进入原积分区域的点对应的纵坐标即为y的下限，而直线穿出原积分区域的点对应的纵坐标即为y的上限。
在题主的问题中，在[0,2πa]内随便一点x处作垂直于横轴的直线，该直线显然在x轴上进入原积分区域，所以y的下限是0；又该直线在与摆线的交点处穿出原积分区域，而当横坐标为x时，纵坐标就是y，所以对应的积分上限是y.