Question

如图,在RT△ABC中,AC=BC,点D是BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F,求证:AB垂直平分DF

Answer 1

证明：连接DF，
∵∠BCE
∠ACE=90°，∠ACE
∠CAE=90°
，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=
1
2
BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平
分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD
的中线，
即AB垂直平分DF．

Answer 2

设AB和DF交于O
∵∠ACB=90°，AC∥BF
∴∠CBF+∠ACB=180°，即∠CBF=90°
∵CE⊥AD，∠ACB=90°
即∠BCF+∠ADC=90°
∠CAD+∠ADC=90°
∴∠CAD=∠BCF
∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF(ASA)
∴BF=CD
∵点D是BC的中点即CD=BC
∴BD=BF
∵∠DBF=∠ABC+∠FBO=90°
∠ACB=45°
∴∠FBO=∠ABC=∠DBO=45°
∵∠FBO=∠DBO=45°
BD=BF
OB=OB
∴△BOD≌△BOF(SAS)
∴OD=OF
∠BOF=∠BOD
∵∠BOF+∠BOD=180°
∴∠BOF=∠BOD=90°
即AB⊥DF
∴AB垂直平分DF