Question

在三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC

BD为角ABC的角平分线，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角三角形CPF，其中角F＝90度，点Q为角FPC与角PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q是否恒在射线BD上？若地，请证明，若不在，请说明理由。

Answer 1

作QM⊥BP于M、作QN⊥BC于N，连接QC、QB
Q是∆CPF的内心，∴易证
QC＝QP
且
∠QNC＝90º＝∠QMP
∠FCN＋∠ACP＝180º－∠ACB－∠PCF＝180º－45º－45º＝90º
∠ACP＋∠APC＝90º
∴∠FCN＝∠APC
∠QCN＝∠QCF＋∠FCN＝45º/2＋∠FCN
∠QPM＝∠QPC＋∠APC＝45º/2＋∠APC
因此
∠QCN＝∠QPM
于是∆QCN≌∆QPM，得QN＝QM
∴QB是∠ABC的角平分线
由于∠ABC的角平分线只有一条，∴∠ABC的角平分线一定过Q点