Question

轮换对称式因式分解a^2(b+c-2a)+b^2(c+a-2b)+c^2(a+b...

轮换对称式因式分解 a^2(b+c-2a)+b^2(c+a-2b)+c^2(a+b-2c)+2(a^2-b^2)(a-c)+2(b^2-c^2)(b-a)+2(c^2-a^2)(c-b)

Answer 1

令f（a）＝原式,则：
∵f（b）
＝b^2（b＋c－2b）＋b^2（c＋b－2b）＋c^2（b＋b－2c）＋2（c^2－b^2）（c－b）
＝b^2（c－b）＋b^2（c－b）＋2c^2（b－c）＋2c^2（c－b）－2b^2（c－b）
＝0.
∴原式中必含有因式（a－b）.
∵f（c）
＝c^2（b＋c－2c）＋b^2（c＋c－2b）＋c^2（c＋b－2c）＋2（b^2－c^2）（b－c）
＝c^2（b－c）＋2b^2（c－b）＋c^2（b－c）＋2b^2（b－c）－2c^2（b－c）
＝0.
∴原式中必含有因式（a－c）.
令f（b）＝原式,则：
f（c）
＝a^2（c＋c－2a）＋c^2（c＋a－2c）＋c^2（a＋c－2c）＋2（a^2－c^2）（a－c）
＝2a^2（c－a）＋c^2（a－c）＋c^2（a－c）＋2a^2（a－c）－2c^2（a－c）
＝0.
∴原式中必含有因式（b－c）.
∵原式是一个三次轮换对称式,而（a－b）（a－c）（b－c）也是三次轮换对称式,
∴原式＝k（a－b）（a－c）（b－c）,其中k为待定系数.
令a＝1、b＝2、c＝3,得：
原式
＝（2＋3－2）＋4×（3＋1－4）＋9×（1＋2－6）
　＋2×（1－4）×（1－3）＋2×（4－9）×（2－3）＋2×（9－1）×（3－2）
＝3－27＋12＋10＋16
＝14.
∴（1－2）×（1－3）×（2－3）k＝14,　∴k＝－7.
∴原式＝－7（a－b）（a－c）（b－c）＝7（a－b）（b－c）（c－a）.